Понятие средней величины в статистике. Средние величины и показатели вариации Для нужны средние величины статистике

На этапе статистической обработки могут быть поставлены самые различные задачи исследования, для решения которых нужно выбрать соответствующую среднюю. При этом необходимо руководствоваться следующим правилом: величины, которые представляют собой числитель и знаменатель средней, должны быть логически связаны между собой.

• степенные средние;
• структурные средние.

Введем следующие условные обозначения:

Величины, для которых исчисляется средняя;

Средняя, где черта сверху свидетельствует о том, что имеет место осреднение индивидуальных значений;

Частота (повторяемость индивидуальных значений признака).

Различные средние выводятся из общей формулы степенной средней:

при k = 1 - средняя арифметическая; k = -1 - средняя гармоническая; k = 0 - средняя геометрическая; k = -2 - средняя квадратическая.

Средние величины бывают простые и взвешенные.

Взвешенными средними называют величины, которые учитывают, что некоторые варианты значений признака могут иметь различную численность, в связи с чем каждый вариант приходится умножать на эту численность. Иными словами, «весами» выступают числа единиц совокупности в разных группах, т.е. каждый вариант «взвешивают» по своей частоте. Частоту f называют статистическим весом или весом средней .

Известно, что сделки осуществлялись в течение 5 дней (5 сделок), количество проданных акций по курсу продаж распределилось следующим образом:

1 - 800 ак. - 1010 руб.

2 - 650 ак. - 990 руб.

3 - 700 ак. - 1015 руб.

4 - 550 ак. - 900 руб.

5 - 850 ак. - 1150 руб.

Исходным соотношением для определения среднего курса стоимости акций является отношение общей суммы сделок (ОСС) к количеству проданных акций (КПА):

ОСС = 1010 · 800 + 990 · 650 + 1015 · 700+900·550+1150·850= 3 634 500;

КПА = 800+650+700+550+850=3550.

В этом случае средний курс стоимости акций был равен:

Необходимо знать свойства арифметической средней, что очень важно как для ее использования, так и при ее расчете. Можно выделить три основных свойства, которые наиболее всего обусловили широкое применение арифметической средней в статистико-экономических расчетах.

Свойство первое (нулевое ): сумма положительных отклонений индивидуальных значений признака от его среднего значения равна сумме отрицательных отклонений. Это очень важное свойство, поскольку оно показывает, что любые отклонения (как с +, так и с -), вызванные случайными причинами, взаимно будут погашены.

Доказательство :

Свойство второе (минимальное ): сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем от любого другого числа (а), т.е. есть число минимальное.

Доказательство.

Составим сумму квадратов отклонений от переменной а:

Чтобы найти экстремум этой функции, необходимо ее производную по а приравнять нулю:

Отсюда получаем:

Следовательно, экстремум суммы квадратов отклонений достигается при . Этот экстремум - минимум, так как функция не может иметь максимума.

Свойство третье : средняя арифметическая постоянной величины равна этой постоянной: при а = const.

Кроме этих трех важнейших свойств средней арифметической существуют так называемые расчетные свойства , которые постепенно теряют свою значимость в связи с использованием электронно-вычислительной техники:

• если индивидуальное значение признака каждой единицы умножить или разделить на постоянное число, то средняя арифметическая увеличится или уменьшится во столько же раз;
• средняя арифметическая не изменится, если вес (частоту) каждого значения признака разделить на постоянное число;
• если индивидуальные значения признака каждой единицы уменьшить или увеличить на одну и ту же величину, то средняя арифметическая уменьшится или увеличится на ту же самую величину.

Средняя гармоническая . Эту среднюю называют обратной средней арифметической, поскольку эта величина используется при k = -1.

Простая средняя гармоническая используется тогда, когда веса значений признака одинаковы. Ее формулу можно вывести из базовой формулы, подставив k = -1:

К примеру, нам нужно вычислить среднюю скорость двух автомашин, прошедших один и тот же путь, но с разной скоростью: первая - со скоростью 100 км/ч, вторая - 90 км/ч.

Применяя метод средней гармонической, мы вычисляем среднюю скорость:

В статистической практике чаще используется гармоническая взвешенная, формула которой имеет вид:

Данная формула используется в тех случаях, когда веса (или объемы явлений) по каждому признаку не равны. В исходном соотношении для расчета средней известен числитель, но неизвестен знаменатель.

Например, при расчете средней цены мы должны пользоваться отношением суммы реализации к количеству реализованных единиц. Нам не известно количество реализованных единиц (речь идет о разных товарах), но известны суммы реализаций этих различных товаров.

Допустим, необходимо узнать среднюю цену реализованных товаров:

Получаем

Если здесь использовать формулу средней арифметической, то можно получить среднюю цену, которая будет нереальна:

Средняя геометрическая . Чаще всего средняя геометрическая находит свое применение при определении средних темпов роста (средних коэффициентов роста), когда индивидуальные значения признака представлены в виде относительных величин. Она используется также, если необходимо найти среднюю между минимальным и максимальным значениями признака (например, между 100 и 1000000). Существуют формулы для простой и взвешенной средней геометрической.

Для простой средней геометрической:

Для взвешенной средней геометрической:

Средняя квадратическая величина . Основной сферой ее применения является измерение вариации признака в совокупности (расчет среднего квадратического отклонения).

Формула простой средней квадратической:

Формула взвешенной средней квадратической:

В итоге можно сказать, что от правильного выбора вида средней величины в каждом конкретном случае зависит успешное решение задач статистического исследования.

Выбор средней предполагает такую последовательность:

а) установление обобщающего показателя совокупности;

б) определение для данного обобщающего показателя математического соотношения величин;

в) замена индивидуальных значений средними величинами;

г) расчет средней с помощью соответствующего уравнения.

Сейчас поговорим о том, как рассчитывать среднюю величину .
В классическом виде общая теория статистики предлагает нам один вариант правил выбора средней величины.
Сначала необходимо составить правильно логическую формулу для расчета средней величины (ЛФС). Для каждой средней величины всегда есть только одна логическая формула ее расчета, поэтому ошибиться тут трудно. Но всегда надо помнить, что в числителе (это то, что сверху дроби) сумма всех явлений, а в знаменателе (то, что внизу дроби) общее количество элементов.

После того как составлена логическая формула можно пользоваться правилами (для простоты понимания упростим их и сократим):
1. Если в исходных данных (определяем по частоте) представлен знаменатель логической формулы, то расчет проводим по формуле средней арифметической взвешенной.
2. Если в исходных данных представлен числитель логической формулы, то расчет ведем по формуле средней гармонической взвешенной.
3. Если в задаче представлены сразу и числитель и знаменатель логической формулы (такое бывает редко), то расчет проводим по этой формуле или по формуле средней арифметической простой.
Это классическое представление о выборе верной формулы расчета средней величины. Далее представим последовательность действий при решении задач на расчет средней величины.

Алгоритм решения задач на расчет средней величины

А. Определяем способ расчета средней величины – простой или взвешенный . Если данные представлены в таблице то используем взвешенный способ, если данные представлены простым перечислением, то используем простой способ расчета.

Б. Определяем или расставляем условные обозначения – x – варианта, f – частота . Варианта это то, для какого явления требуется найти среднюю величину. Оставшиеся данные в таблице будут частотой.

В. Определяем форму расчета средней величины – арифметическая или гармоническая . Определение проводится по колонке частот. Арифметическая форма используется, если частоты заданы явным количеством (условно к ним можно подставить слово штук, количество элементов «штук»). Гармоническая форма используется, если частоты заданы не явным количеством, а сложным показателем (произведением осредняемой величины и частоты).

Самое сложное, это догадаться, где и какое количество задано, особенно неопытному в таких делах студенту. В такой ситуации можно воспользоваться одним из предлагаемых далее способов. Для некоторых задач (экономических) подходит наработанное годами практики утверждение (пункт В.1). В других же ситуациях придется пользоваться пунктом В.2.

В.1 Если частота задана в денежных единицах (в рублях), то используется для расчета средняя гармоническая, такое утверждение верно всегда, если выявленная частота задана в деньгах, в других ситуациях это правило не действует.

В.2 Воспользоваться правилами выбора средней величины указанными выше в этой статье. Если частота задана знаменателем логической формулы расчета средней величины, то рассчитываем по средней арифметической форме, если частота задана числителем логической формулы расчета средней величины, то рассчитываем по средней гармонической форме.

Рассмотрим на примерах использование данного алгоритма.

А. Так как данные представлены в строчку то используем простой способ расчета.

Б. В. Имеем только данные по величине пенсий, именно они и будут нашей вариантой – х. Данные представлены простым количеством (12 человек), для расчета используем среднюю арифметическую простую.

Средний размер пенсии пенсионера составляет 9208,3 рубля.

Б. Так как требуется найти средний размер выплаты на одного ребенка, то варианты находятся в первой колонке, туда ставим обозначение х , вторая колонка автоматически становится частотой f .

В. Частота (число детей) задана явным количеством (можно подставить слово штук детей, с точки зрения русского языка неверное словосочетание, но, по сути, очень удобно проверять), значит, для расчета используется средняя арифметическая взвешенная.

Эту же задачу модно решить не формульным способом, а табличным, то есть занести все данные промежуточных расчетов в таблицу.

В результате все, что нужно теперь сделать, это разделить два итоговых данных в правильно порядке.

Средний размер выплаты на одного ребенка в месяц составил 1910 рублей.

А. Так как данные представлены в таблице то для расчета используем взвешенную форму.

В. Частота (себестоимость выпуска) задана неявным количеством (частота задана в рублях пункт алгоритма В1 ), значит, для расчета используется средняя гармоническая взвешенная. Вообще же, по сути, себестоимость выпуска это сложный показатель, который получается перемножение себестоимости единицы изделия на количество таких изделий, вот это и есть суть средней гармонической величины.

Чтобы эта задача могла решаться по формуле средней арифметической необходимо, чтобы вместо себестоимости выпуска стояло число изделий с соответствующей себестоимостью.

Обратите внимание, что сумма в знаменателе, получившаяся после расчетов 410 (120+80+210) это и есть общее количество выпущенных изделий.

Средняя себестоимость единицы изделия составила 314,4 рубля.

А. Так как данные представлены в таблице то для расчета используем взвешенную форму.

Б. Так как требуется найти среднюю себестоимость единицы изделия, то варианты находятся в первой колонке, туда ставим обозначение х , вторая колонка автоматически становится частотой f .

В. Частота (общее число пропусков) задана неявным количеством (это произведение двух показателей числа пропусков и числа студентов, имеющих такое количество пропусков), значит, для расчета используется средняя гармоническая взвешенная. Будем использовать пункт алгоритма В2 .

Чтобы эта задача могла решаться по формуле средней арифметической необходимо, чтобы вместо общего числа пропусков стояло число студентов.

Составляем логическую формулу расчета среднего числа пропусков одного студента.

Частота по условию задачи Общее число пропусков. В логической формуле этот показатель находится в числителе, а значит, используем формулу средней гармонической.

Обратите внимание, что сумма в знаменателе, получившаяся после расчетов 31 (18+8+5) это и есть общее количество студентов.

Среднее число пропусков одного студента 13,8 дня.

6.1. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Средняя величина - это одна из форм статистических показателей.

В средней величине сглаживаются индивидуальные особенности отдельных единиц совокупности, однако проявляется главное , основное, типичное, что характеризует совокупность в целом.

Средняя величина - это обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень варьирующего признака в расчете на единицу качественно однородной совокупности в конкретных условиях места и времени.

Обобщающий показатель - это показатель, который характеризует совокупность в целом.

Однородная совокупность - это совокупность, единицы которой формируются под воздействием общих основных причин и условий развития, определяющих общий уровень данного признака, характерный для всей изучаемой совокупности.

Средняя величина, исчисленная по качественно неоднородной совокупности, фиктивная, огульная.

Обязательные условия расчета средних величин

• 1. Средняя величина должна исчисляться на основе:
  • а) качественно однородной совокупности;
  • б) массовых достоверных данных;
  • в) сопоставимых данных (по территории, времени, единицам измерения, методике расчета и пр.).
• 2. Общая средняя величина обязательно должна дополняться другими средними величинами, исчисленными по отдельным группам, индивидуальными значениями осредняемого признака, средними других показателей.

Соблюдение этих условий позволит получить объективную характеристику явления и принять верное управленческое решение.

Например, в 2015 г. среднемесячная номинальная начисленная заработная плата в Российской Федерации в целом по экономике составляла 34 030 руб., в том числе 15 758 руб. в текстильном и швейном производстве (это самая низкая заработная плата), 81 605 руб. - в производстве кокса и нефтепродуктов (самая высокая заработная плата).

В экономической практике применяют различные виды средних величин, которые подразделяются на две группы: степенные средние и структурные средние.

Степенные средние:

• 1) средняя арифметическая;
• 2) средняя гармоническая;
• 3) средняя геометрическая;
• 4) средняя квадратическая;
• 5) средняя кубическая и др.

Структурные средние : мода; медиана; квартили; децили и др. (будут рассмотрены в главе 7).

Выбор конкретной формулы расчета средней величины зависит:

• 1) от смысловой формулы, т.е. сущности осредняемого признака, его содержания, взаимосвязи с итоговым (определяющим) показателем;
• 2) данных, которыми располагает исследователь;
• 3) степени вариации (колеблемости) осредняемого признака.

Итоговый (определяющий ) показатель - это показатель, величина

которого не изменится, если все индивидуальные значения признака (Xj) заменить средней величиной X.

Определяющий показатель находится либо в числителе, либо в знаменателе смысловой формулы.

Вопрос. Как составить смысловую формулу для расчета средней из ОВ?

Совет бывалого статистика. Смысловая (логическая) формула для расчета средней величины из относительных показателей совпадает

с формулой расчета самого относительного показателя.

Смысловая формула среднего процента брака совпадает с формулой расчета относительной величины структуры (удельного веса брака в общем объеме продукции):

Между степенными средними существует определенное количественное соотношение, которое называется правилом мажорантности:

Вопрос. Можно ли заменить одну формулу расчета средней величины другой и в каком случае?

Совет бывалого статистика. Если колеблемость признака небольшая,

если значения признака (Х|) близки друг к другу, то более сложную

среднюю величину можно заменить более простой.

Например, вместо средней геометрической использовать среднюю арифметическую.

В данной главе будет рассмотрено два вида средних величин: средняя арифметическая и средняя гармоническая.

Другие виды средних величин будут изучены в следующих главах практикума.

В таблице 6.1 представлены основные формулы расчета средней арифметической и средней гармонической величин.

Таблица 6.1

Расчет средней арифметической и средней гармонической

Вид средней величины	Формула расчета
Средняя арифметическая простая	X - значение осредняемого признака у отдельных единиц совокупности; п - количество единиц в исследуемой совокупности или количество значений осредняемого признака. Используется, если: 1) данные не сгруппированы; 2) веса всех вариантов (/) равны друг другу; 3) ничего не известно о весах
Средняя арифметическая взвешенная	/- количество единиц, обладающее данным значением осредняемого признака, вес, соизмеритель
	d - доля единиц, обладающая определенным значением осредняемого признака, вес

Окончание

В практике экономических расчетов чаще всего используется средняя арифметическая величина.

В таблице 6.2 дана характеристика определенных свойств средней арифметической величины, которые широко используются для контроля и упрощения расчетов.

Таблица 6.2

Свойства средней арифметической величины

Свойство средней арифметической	Формула
1. Любая средняя величина не может быть меньше наименьшего значения осредняемого признака и больше наибольшего значения в совокупности
2. Если каждое значение признака увеличить или уменьшить на одно и то же число, то средняя величина изменится соответственно
3. Если каждое значение признака увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то средняя величина изменится соответственно
4. Если веса всех вариантов умножить или разделить на одно и то же число, то средняя величина не изменится
Следствие: при расчете средней в качестве весов можно использовать удельные веса
5. Сумма отклонений отдельных вариантов от их средней равна нулю

Расчет средней величины способом моментов

Свойства средней арифметической позволяют упростить расчеты средних величин особенно для дискретных вариационных рядов, а также для интервальных рядов с равными интервалами. Проиллюстрируем это на примере.

Таблица 6.3

Выработка рабочих, шт./чел.	Середина интервала	Количество рабочих, человек /	х-х 0 , х 0 = 50	h ’ h = 20
80 и больше (80-100)

Решение. В таблице 6.3 представлен интервальный вариационный ряд с равными интервалами. В качестве значения признака (х) примем середину каждого интервала (графа 1).

Условимся, что ширина открытого интервала будет равна ширине соседнего с ним закрытого интервала.

Рассчитаем среднюю выработку рабочих бригады обычным (не упрощенным) способом:

Расчеты представлены в графах 3, 4 табл. 6.3.

2. Рассчитаем условную среднюю (среднюю из преобразованных вариант):

Расчеты представлены в графе 5 табл. 6.3.

3. Перейдем от условной средней (х) к фактической (х), для чего в обратном порядке выполним операции, которые мы сделали с х

Результат совпадает с расчетом неупрощенным способом.

Совет бывалого статистика. Если вариационный ряд с равными интервалами, то графы 1 и 3 таблицы исчислять не требуется. Сразу после графы 2 (/-частот) заполняем графу х". По центру этой графы записываем 0. Середина этого интервала будет х 0 , а ширина интервала - h (табл. 6.4).

Таблица 6.4

Расчет средней выработки способом моментов

6.2. РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

Задача 6.1. Рассчитайте среднюю месячную заработную плату рабочих предприятия в текущем году по данным табл. 6.5.

Решение. Расчет средней величины необходимо начинать с написания смысловой формулы.

Смысловая (.логическая ) формула средней заработной платы:

Алгоритм (формула расчета) средней заработной платы зависит от того, какие статистические данные есть в распоряжении исследователя.

Рассмотрим несколько вариантов.

I вариант. Если известно, что в текущем году фонд заработной платы рабочих предприятия за месяц составил 2804 тыс. руб., а работало на предприятии 72 человека, то среднюю заработную плату можно рассчитать, непосредственно подставив в смысловую формулу 6.2 известные нам данные о фонде заработной платы и численности рабочих:

Вывод. В текущем году рабочие предприятия получали в среднем в месяц 38,9 тыс. руб.

II вариант. Известны данные о заработной плате и численности рабочих по отдельным цехам предприятия (табл. 6.5).

Таблица 6.5

Фонд заработной платы и численность рабочих отдельных цехов предприятия за месяц

Решение. Смысловая (логическая) формула средней заработной платы не изменилась (формула 6.2). Однако ни числитель, ни знаменатель смысловой формулы нам непосредственно неизвестны, но их можно рассчитать, используя данные табл. 6.5.

Выберем условные обозначения (табл. 6.6).

Чтобы рассчитать числитель смысловой формулы - «Фонд заработной платы рабочих предприятия», необходимо по каждому цеху предприятия умножить заработную плату рабочих (X) на численность рабочих (/), а затем, получив фонд заработной платы по каждому цеху (Xf), сложить их значения, исчислив, таким образом, фонд заработной платы по предприятию в целом:

Итоги расчетов представим в табл. 6.6.

Таблица 6.6

Расчет средней заработной платы рабочих предприятия за месяц (средняя арифметическая взвешенная)

Тогда средняя заработная плата по предприятию (X) будет равна:

Расчет средней заработной платы произвели по формуле средней арифметической взвешенной.

Вопрос. С какой точностью следует исчислять среднюю величину?

Совет бывалого статистика. Степень точности расчета средней величины должна быть выше степени точности осредняемых показателей, особенно при их небольших значениях.

В нашем случае заработная плата по отдельным цехам предприятия исчислена с точностью до целого числа (32; 48; 39), а средняя заработная плата - с более высокой степенью точности, до десятой доли числа (38,9).

Вопрос. Можно ли проверить правильность расчета средней величины?

Совет бывалого статистика. Любая средняя величина должна быть больше минимального значения и меньше максимального значения осредняемого признака (свойство любой средней величины):

В нашем случае это требование соблюдается:

Следовательно, грубой ошибки в расчетах не допущено.

Вывод. В текущем году средняя заработная плата рабочих предприятия за месяц составила 38,9 тыс. руб. Самая высокая заработная плата была в цехе № 2 - 48 тыс. руб./чел., самая низкая - в цехе № 1 - 32 тыс. руб./чел.

Вопрос. По какой формуле нужно исчислять среднюю величину, если известен только знаменатель смысловой формулы, а числитель не известен, но его можно рассчитать?

Совет бывалого статистика. Если известен только знаменатель смысловой формулы, а числитель не известен, но его можно рассчитать, исчисление средней величины производят по формуле средней арифметической взвешенной:

III вариант. Известны данные о заработной плате и фонде заработной платы рабочих по отдельным цехам предприятия за месяц (табл. 6.7).

Таблица 6.7

Фонд заработной платы и численность рабочих отдельных цехов предприятия за месяц

Решение. Смысловая (логическая) формула средней заработной платы осталась прежней (6.2).

Однако ни числитель, ни знаменатель смысловой формулы нам непосредственно неизвестны. Но их можно рассчитать по данным табл. 6.7.

Чтобы рассчитать знаменатель смысловой формулы - «Численность рабочих предприятия», необходимо по каждому цеху разделить фонд заработной платы (М ) на численность рабочих (X) и полученные данные сложить:

Итоги расчетов представим в табл. 6.8.

Таблица 6.8

Расчет средней заработной платы рабочих предприятия за месяц (средняя гармоническая взвешенная)

Расчет произвели по формуле средней гармонической взвешенной.

Проверка:

Вопрос. По какой формуле необходимо исчислять среднюю величину, если известен только числитель смысловой формулы, а знаменатель не известен, но его можно рассчитать?

Совет бывалого статистика. Если известен только числитель смысловой формулы, а знаменатель не известен, но его можно рассчитать, исчисление средней производят по формуле средней гармонической взвешенной:

IV вариант. Возможен случай, когда не известны данные ни о фонде заработной платы, ни о численности рабочих и рассчитать их нельзя. Однако известна информация о заработной плате по каждому цеху предприятия, т.е. даны значения осредняемого признака (xj) (табл. 6.9).

Таблица 6.9

Заработная плата рабочих предприятия за месяц

Решение. В этом случае расчет средней заработной платы производят по формуле средней арифметической простой на основе данных о заработной плате (без учета сведений о численности рабочих):

Проверка:

Вопрос. Но какой формуле можно исчислить среднюю величину, если известны только значения осредняемого признака у отдельных единиц совокупности?

Совет бывалого статистика Если не известен ни числитель, ни знаменатель смысловой формулы, но известны значения осредняемого признака у отдельных единиц совокупности, расчет средней величины производят по формуле средней арифметической простой:

Как мы видим, заработная плата, исчисленная по формуле средней арифметической простой и средней арифметической взвешенной , количественно не совпадают:

Совет бывалого статистика. Средняя арифметическая взвешенная всегда дает более точный результат, чем средняя арифметическая простая, так как учитывает больше факторов, определяющих значение средней величины.

В нашем случае средняя арифметическая простая учитывает только разброс значений заработной платы в отдельных цехах, а средняя арифметическая взвешенная учитывает еще и количество рабочих, получающих каждое значение заработной платы.

Задача 6.2. В прошлом году билеты на концерты органной музыки можно было купить за 800, 1000 и 1200 руб. В текущем году цена билетов увеличилась на 100 руб.

Решение.

1. Рассчитаем среднюю цену на билеты в прошлом году.

Смысловая формула средней цены:

Так как нам не известен ни числитель, ни знаменатель смысловой формулы, но известны значения осредняемого признака (цены), можно воспользоваться только формулой средней арифметической простой".

Проверка:

Вывод. В прошлом году билеты на концерты органной музыки продавали в среднем по 967 руб./шт.

2. Рассчитаем среднюю цену на билеты в текущем году.

Проверка:

Для упрощения расчетов без потери их точности воспользуемся свойством средней величины (табл. 6.2, свойство 2):

Если в текущем году цены на все билеты повысили на 100 руб., то средняя цена в текущем году будет на 100 руб. больше прошлогодней средней цены:

Вывод. В текущем году билеты на концерты органной музыки будут продавать в среднем по 1067 руб./шт.

Совет бывалого статистика. Если каждое значение признака (X) увеличить (уменьшить) на одно и то же число, то значение средней величины увеличится (уменьшится) на то же число.

Задача 6.3. Рассчитайте среднюю цену билетов на концерты органной музыки, если известно, что в прошлом году 33% билетов продавали по цене 1200 руб., 57% - по 900 руб. и 10% - по 800 руб.

Решение. Нам не известен ни числитель, ни знаменатель смысловой формулы и рассчитать их по условию задачи нельзя:

Однако определить среднюю цену билетов можно, если воспользоваться свойством средней величины (табл. 6.2): если веса (J) всех значений признака (X ) умножить или разделить на одно и то же число, то средняя величина не изменится.

Следовательно,

Вывод. В прошлом году билеты на концерты органной музыки продавали в среднем по 989 руб./шт.

Объясните, почему средняя цена билетов в задачах 6.2 и 6.3 не совпадает.

Совет бывалого статистика. В качестве весов (/) можно использовать удельные веса . Средняя величина не изменится.

Рассчитаем среднюю величину в интервальном вариационном

Задача 6.4. По данным таблицы 6.10 рассчитайте среднюю выработку рабочих бригады за смену, указав вид средней величины.

Таблица 6.10

Распределение рабочих бригады по выработке

Решение. Для расчета средней выработки рабочих бригады за смену воспользуемся смысловой формулой:

По условию задачи нам известен знаменатель смысловой формулы (численность рабочих бригады), а числитель (выпуск продукции рабочими бригады за смену) - нет, но его можно найти, перемножив по каждой группе выработку рабочих на количество рабочих. Следовательно, необходимо применять формулу средней арифметической взвешенной:

Однако данные о выработке рабочих представлены в виде интервалов, т.е. мы не знаем конкретно, сколько единиц продукции выработал каждый рабочий. Нам известно только, что каждый рабочий первой группы выпустил менее 10 изделий, второй - от 10 до 16 изделий и т.д. Какое же значение брать в качестве значения выработки из каждого интервала?

Совет бывалого статистика. Если данные представлены в виде интервального ряда, то в качестве значения признака (X) принимаем середину каждого интервала.

Первый интервал «до 10» - открытый, так как не имеет нижней границы. Сначала «закроем» этот интервал, условно определив его нижнюю границу.

Вопрос. Как закрыть открытый интервал?

Совет бывалого статистика. Величина открытого интервала принимается равной величине соседнего с ним закрытого интервала.

Величина соседнего закрытого интервала «10-16» равна 6=16- 10, следовательно, нижняя граница первого интервала будет составлять 4 = 10 - 6. Значит, первый интервал: «4-10».

Последний интервал «22 и выше» также открытый. Он не имеет верхней границы. Величина соседнего с ним закрытого интервала равна 6 = 22 - 16, следовательно, верхняя граница открытого интервала будет составлять 22 + 6 = 28. Последний интервал: «22-28».

Оформим решение в табл. 6.11.

Середину интервала по каждой группе рассчитаем по формуле средней арифметической простой. Например, для первой группы (первого интервала):

Таблица 6.11

Расчет средней выработки рабочих по данным интервального

ряда

Выработка рабочих бригады за смену, шт.	Численность рабочих, человек	Средняя выработка по группе, шт.	Выпуск продукции рабочими бригады за смену, шт.
		(4 + 10): 2 = 7	7 х-5 = 35
		(10 + 16): 2 = 13	13^-18 = 234

Смысловая формула средней выработки:

Исходя из смысловой формулы и данных, которыми мы располагаем, расчет средней зарплаты произведем по формуле средней арифметической взвешенной:

Проверка:

Вывод. Рабочие бригады вырабатывали в среднем 16 изделий за смену.

6.3. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Умен и способен тот, кто спрашивает, когда сомневается в чем-нибудь.

Ли Шин-ин

Задание 6.1. Напишите логическую (смысловую) формулу для расчета следующих показателей:

• 1) средняя урожайность картофеля;
• 2) средний процент выполнения плана;
• 3) средняя зарплата одного рабочего;
• 4) средний процент продукции высшего сорта;
• 5) средняя себестоимость единицы продукции;
• 6) средняя цена товара;
• 7) средняя рентабельность.

Задание 6.2. Заполнив табл. 6.12, рассчитайте за каждый квартал текущего года средний процент бракованной продукции по трем бригадам в целом. Назовите вид средних величин, по которым производился расчет. Проанализируйте полученные результаты.

Таблица 6.12

Экономические показатели по трем бригадам сборочного

цеха

Бригада	1 квартал			II квартал
	процент бракованной продукции	выпуск продукции,		процент бракованной продукции	выпуск бракованной продукции, шт.

Задание 6.3. Заполнив табл. 6.13, рассчитайте за каждый месяц текущего года среднюю рентабельность по трем предприятиям фирмы в целом.

Проанализируйте полученные результаты. Аргументируйте выбор средних величин, по которым производился расчет.

Таблица 6.13

Экономические показатели по трем предприятиям фирмы «Орфей»

Задание 6.4. Имеются следующие данные по трем сельскохозяйственным предприятиям области в текущем году:

• 1. Рассчитайте среднюю урожайность в целом по трем предприятиям за каждое полугодие и год.
• 2. Изучите изменение средней урожайности во втором полугодии по сравнению с первым. Сделайте выводы.
• 3. Проанализируйте изменение структуры посевных площадей.
• 4. Расчеты оформите в таблице.

Задание 6.5. Известны следующие данные о продажах крупы населению района по трем магазинам фирмы за февраль текущего года:

Таблица 6.14

Цена и объем реализации крупы за февраль текущего года

Рассчитайте:

• 1) среднюю цену 1 кг крупы по фирме в целом. Обоснуйте выбор формулы расчета средней величины. Оформите расчеты в виде таблицы;
• 2) долю магазина № 1 в общем объеме проданной крупы по фирме в целом.

Сделайте вывод.

Задание 6.6. По данным табл. 6.15 рассчитайте средний процент сертифицированной продукции. Аргументируйте выбор формулы расчета средней величины.

Сделайте вывод о динамике качества продукции, если в прошлом периоде средний процент сертифицированной продукции составлял 70,9%.

Таблица 6.15

Данные о сертификации продукции фирмы «Квадрат»

Задание 6.7. По данным табл. 6.16 рассчитайте средний процент выполнения сменного задания рабочими бригады, в том числе способом моментов.

Таблица 6.16

Распределение рабочих бригады по проценту выполнения сменного задания

Расчеты оформите в таблице. Сделайте выводы.

Задание 6.8. Рассчитайте средний тарифный разряд рабочих бригады, если 20% рабочих имеют третий разряд, 40% - четвертый, 35% - пятый, остальные - шестой. Укажите вид средней величины, по которой производился расчет. Назовите свойство средней величины, которым вы воспользовались в ходе решения.

Как изменилась квалификация рабочих бригады, если в прошлом году средний тарифный разряд рабочих составил 5,1. Сделайте выводы.

Задание 6.9. Кафе «Огонек» планировало купить 50 кг мяса по 300 руб./кг и 80 кг - по 270 руб./кг. Однако поставщик поднял цены на мясо в 1,2 раза.

Рассчитайте, по какой цене в среднем был фактически куплен 1 кг мяса и какова была средняя плановая цена закупки.

Назовите вид средней величины, по которой производился расчет. Сделайте выводы.

Задание 6.10. В предыдущем году у 28% населения области годовой доход на каждого члена семьи составлял 180 тыс. руб., у 56% - 264 тыс. руб., у остальных - 588 тыс. руб.

Представьте данные в форме таблицы. Определите средний годовой душевой доход семьи по области в целом.

Укажите вид средней величины, по которой производился расчет. Сделайте вывод.

Задание 6.11. Рассчитайте среднюю прибыль на одну акцию по фирме в целом, если сумма прибыли по первому предприятию фирмы составила 168,0 тыс. руб., по второму - 228,8 тыс. руб., по третьему - 218,4 тыс. руб. Прибыль на одну акцию по предприятиям фирмы составила соответственно 6,0; 5,2; 3,9 руб.

Рассчитайте долю каждого предприятия в общей сумме прибыли фирмы.

Расчеты задачи оформите в таблице. Сделайте вывод.

Задание 6.12. По данным табл. 6.17 рассчитайте средний возраст рабочих организации, указав вид средней величины.

Таблица 6.17

Распределение рабочих ПАО «Рекорд» по возрасту

Изучите возрастную структуру рабочих организации, исчислив ОБ структуры.

Расчеты оформите в таблице. Сделайте выводы.

Задание 6.13. Рассчитайте среднюю трудоемкость изготовления единицы продукции по фирме в целом, если затраты времени на производство продукции по первому предприятию фирмы составили 276 тыс. чел.-час, по второму - 2016 тыс. чел.-час, по третьему - 3666 тыс. чел.-час. Трудоемкость изделия по предприятиям фирмы составила соответственно 4,6; 11,2; 9,4 час/шт.

Укажите вид средней величины, по которой производился расчет.

Рассчитайте долю каждого предприятия в общих затратах времени на производство продукции фирмы. Укажите вид исчисленной ОБ.

Расчеты оформите в таблице. Сделайте вывод.

Задание 6.14. В России в 22 клубах Континентальной хоккейной лиги (КХЛ) 101 иностранец, в том числе: 14 - из Канады, 11 - из США, 76 - из Европы. В 14 клубах российской волейбольной суперлиги 17 иностранцев. В 10 клубах баскетбольной единой лиги ВТБ 53 иностранца. В российской футбольной премьер-лиге 16 клубов, в которых 131 иностранец. В российской суперлиге по хоккею с мячом 13 команд и всего 6 иностранцев. Примечание: все команды - мужские.

Рассчитайте: 1) среднее количество легионеров в клубах России; 2) структуру легионеров в КХЛ по признаку страны. Начертите структурную диаграмму. Сделайте выводы.

Задание 6.15. Известны следующие данные о торгово-производственной деятельности кафе «Ромашка» за сентябрь текущего года:

Рассчитайте:

• 1) по какой цене в среднем кафе «Ромашка» покупало товар в сентябре? Укажите вид исчисленной средней величины;
• 2) долю (удельный вес) каждой партии товара в общем объеме поступлений за месяц (в %). Оцените ритмичность поступлений товара.
• 3) на сколько рублей и процентов увеличилась средняя цена закупки товара, если в октябре товар покупали в среднем за 127,81 руб./шт.?

Сделайте выводы.

• Вывод. Каждый рабочий бригады вырабатывал в среднем 48 единиц продукции за смену. В дальнейших вычислениях средней выработки упрощенным способом воспользуемся свойствами средней арифметической величины. 1. В расчетах в качестве значения осредняемого признака (х) возьмем преобразованные варианты(х): где xq и h - любые числа. Совет бывалого статистика. Самого большого упрощения можно добиться, если в качестве х0 принять середину центрального интервала(х0 = 50), а в качестве h - ширину интервала (h = 20).

Средние величины относятся к обобщающим статистическим показателям, которые дают сводную (итоговую) характеристику массовых общественных явлений, так как строятся на основе большого количества индивидуальных значений варьирующего признака. Для выяснения сущности средней величины необходимо рассмотреть особенности формирования значений признаков тех явлений, по данным которых исчисляют среднюю величину.

Известно, что единицы каждого массового явления обладают многочисленными признаками. Какой бы из этих признаков мы ни взяли, его значения у отдельных единиц будут различными, они изменяются, или, как говорят в статистике , варьируют от одной единицы к другой. Так, например, заработная плата работника определяется его квалификацией, характером труда, стажем работы и целым рядом других факторов, поэтому изменяется в весьма широких пределах. Совокупное влияние всех факторов определяет размер заработка каждого работника, тем не менее можно говорить о среднемесячной заработной плате работников разных отраслей экономики . Здесь мы оперируем типичным, характерным значением варьирующего признака, отнесенным к единице многочисленной совокупности.

Средняя величина отражает то общее, что характерно для всех единиц изучаемой совокупности. В то же время она уравновешивает влияние всех факторов, действующих на величину признака отдельных единиц совокупности, как бы взаимно погашая их. Уровень (или размер) любого общественного явления обусловлен действием двух групп факторов. Одни из них являются общими и главными, постоянно действующими, тесно связанными с природой изучаемого явления или процесса, и формируют то типичное для всех единиц изучаемой совокупности, которое и отражается в средней величине. Другие являются индивидуальными, их действие выражено слабее и носит эпизодический, случайный характер. Они действуют в обратном направлении, обусловливают различия между количественными признаками отдельных единиц совокупности, стремясь изменить постоянную величину изучаемых признаков. Действие индивидуальных признаков погашается в средней величине. В совокупном влиянии типичных и индивидуальных факторов, которое уравновешивается и взаимно погашается в обобщающих характеристиках, проявляется в общем виде известный из математической статистики фундаментальный закон больших чисел.

В совокупности индивидуальные значения признаков сливаются в общую массу и как бы растворяются. Отсюда и средняя величина выступает как «обезличенная», которая может отклоняться от индивидуальных значений признаков, не совпадая количественно ни с одним из них. Средняя величина отражает общее, характерное и типичное для всей совокупности благодаря взаимопогашению в ней случайных, нетипичных различий между признаками отдельных ее единиц, так как ее величина определяется как бы общей равнодействующей из всех причин.

Однако для того, чтобы средняя величина отражала наиболее типичное значение признака, она должна определяться не для любых совокупностей, а только для совокупностей, состоящих из качественно однородных единиц. Это требование является основным условием научно обоснованного применения средних величин и предполагает тесную связь метода средних величин и метода группировок в анализе социально-экономических явлений. Следовательно, средняя величина - это обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень варьирующего признака в расчете на единицу однородной совокупности в конкретных условиях места и времени.

Определяя, таким образом, сущность средних величин, необходимо подчеркнуть, что правильное исчисление любой средней величины предполагает выполнение следующих требований:

• качественная однородность совокупности, по которой вычислена средняя величина. Это означает, что исчисление средних величин должно основываться на методе группировок, обеспечивающем выделение однородных, однотипных явлений;
• исключение влияния на вычисление средней величины случайных, сугубо индивидуальных причин и факторов. Это достигается в том случае, когда вычисление средней основывается на достаточно массовом материале, в котором проявляется действие закона больших чисел, и все случайности взаимно погашаются;
• при вычислении средней величины важно установить цель ее расчета и так называемый определяющий показа-телъ (свойство), на который она должна быть ориентирована.

Определяющий показатель может выступать в виде суммы значений осредняемого признака, суммы его обратных значений, произведения его значений и т. п. Связь между определяющим показателем и средней величиной выражается в следующем: если все значения осредняемого признака заменить средним значением, то их сумма или произведение в этом случае не изменит определяющего показателя. На основе этой связи определяющего показателя со средней величиной строят исходное количественное отношение для непосредственного расчета средней величины. Способность средних величин сохранять свойства статистических совокупностей называют определяющим свойством.

Средняя величина, рассчитанная в целом по совокупности, называется общей средней; средние величины, рассчитанные для каждой группы, - групповыми средними. Общая средняя отражает общие черты изучаемого явления, групповая средняя дает характеристику явления, складывающуюся в конкретных условиях данной группы.

Способы расчета могут быть разные, поэтому в статистике различают несколько видов средней величины, основными из которых являются средняя арифметическая, средняя гармоническая и средняя геометрическая.

В экономическом анализе использование средних величин является основным инструментом для оценки результатов научно-технического прогресса, социальных мероприятий, поиска резервов развития экономики. В то же время следует помнить о том, что чрезмерное увлечение средними показателями может привести к необъективным выводам при проведении экономико-статистического анализа. Это связано с тем, что средние величины, будучи обобщающими показателями, погашают, игнорируют те различия в количественных признаках отдельных единиц совокупности, которые реально существуют и могут представлять самостоятельный интерес.

Виды средних величин

В статистике используют различные виды средних величин, которые делятся на два больших класса:

• степенные средние (средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя арифметическая, средняя квадра-тическая, средняя кубическая);
• структурные средние (мода, медиана).

Для вычисления степенных средних необходимо использовать все имеющиеся значения признака. Мода и медиана определяются лишь структурой распределения, поэтому их называют структурными, позиционными средними. Медиану и моду часто используют как среднюю характеристику в тех совокупностях, где расчет средней степенной невозможен или нецелесообразен.

Самый распространенный вид средней величины - средняя арифметическая. Под средней арифметической понимается такое значение признака, которое имела бы каждая единица совокупности, если бы общий итог всех значений признака был распределен равномерно между всеми единицами совокупности. Вычисление данной величины сводится к суммированию всех значений варьирующего признака и делению полученной суммы на общее количество единиц совокупности. Например, пять рабочих выполняли заказ на изготовление деталей, при этом первый изготовил 5 деталей, второй - 7, третий - 4, четвертый - 10, пятый- 12. Поскольку в исходных данных значение каждого варианта встречалось только один раз, для определения средней выработки одного рабочего следует применить формулу простой средней арифметической:

т. е. в нашем примере средняя выработка одного рабочего равна

Наряду с простой средней арифметической изучают среднюю арифметическую взвешенную. Например, рассчитаем средний возраст студентов в группе из 20 человек , возраст которых варьируется от 18 до 22 лет, где xi - варианты осредняемого признака, fi - частота, которая показывает, сколько раз встречается i-е значение в совокупности (табл. 5.1).

Таблица 5.1

Средний возраст студентов

Применяя формулу средней арифметической взвешенной, получаем:

Для выбора средней арифметической взвешенной существует определенное правило: если имеется ряд данных по двум показателям, для одного из которых надо вычислить

среднюю величину, и при этом известны численные значения знаменателя ее логической формулы, а значения числителя неизвестны, но могут быть найдены как произведение этих показателей, то средняя величина должна высчитывать-ся по формуле средней арифметической взвешенной.

В некоторых случаях характер исходных статистических данных таков, что расчет средней арифметической теряет смысл и единственным обобщающим показателем может служить только другой вид средней величины - средняя гармоническая. В настоящее время вычислительные свойства средней арифметической потеряли свою актуальность при расчете обобщающих статистических показателей в связи с повсеместным внедрением электронно-вычислительной техники. Большое практическое значение приобрела средняя гармоническая величина, которая тоже бывает простой и взвешенной. Если известны численные значения числителя логической формулы, а значения знаменателя неизвестны, но могут быть найдены как частное деление одного показателя на другой, то средняя величина вычисляется по формуле средней гармонической взвешенной.

Например, пусть известно, что автомобиль прошел первые 210 км со скоростью 70 км/ч, а оставшиеся 150 км со скоростью 75 км/ч. Определить среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути в 360 км, используя формулу средней арифметической, нельзя. Так как вариантами являются скорости на отдельных участках xj = 70 км/ч и Х2 = 75 км/ч, а весами (fi) считаются соответствующие отрезки пути, то произведения вариантов на веса не будут иметь ни физического, ни экономического смысла. В данном случае смысл приобретают частные от деления отрезков пути на соответствующие скорости (варианты xi), т. е. затраты времени на прохождение отдельных участков пути (fi/ xi). Если отрезки пути обозначить через fi, то весь путь выразиться как Σfi, а время, затраченное на весь путь, - как Σ fi/ xi , Тогда средняя скорость может быть найдена как частное от деления всего пути на общие затраты времени:

В нашем примере получим:

Если при использовании средней гармонической веса всех вариантов (f) равны, то вместо взвешенной можно использовать простую (невзвешенную) среднюю гармоническую:

где xi - отдельные варианты; n - число вариантов осредняемого признака. В примере со скоростью простую среднюю гармоническую можно было бы применить, если бы были равны отрезки пути, пройденные с разной скоростью.

Любая средняя величина должна вычисляться так, чтобы при замене ею каждого варианта осредняемого признака не изменялась величина некоторого итогового, обобщающего показателя, который связан с осредняемым показателем. Так, при замене фактических скоростей на отдельных отрезках пути их средней величиной (средней скоростью) не должно измениться общее расстояние.

Форма (формула) средней величины определяется характером (механизмом) взаимосвязи этого итогового показателя с осредняемым, поэтому итоговый показатель, величина которого не должна изменяться при замене вариантов их средней величиной, называется определяющим показателем. Для вывода формулы средней нужно составить и решить уравнение, используя взаимосвязь осредняемого показателя с определяющим. Это уравнение строится путем замены вариантов осредняемого признака (показателя) их средней величиной.

Кроме средней арифметической и средней гармонической в статистике используются и другие виды (формы) средней величины. Все они являются частными случаями степенной средней. Если рассчитывать все виды степенных средних величин для одних и тех же данных, то значения

их окажутся одинаковыми, здесь действует правило мажо-рантности средних. С увеличением показателя степени средних увеличивается и сама средняя величина. Наиболее часто применяемые в практических исследованиях формулы вычисления различных видов степенных средних величин представлены в табл. 5.2.

Таблица 5.2

Средняя геометрическая применяется, когда имеется n коэффициентов роста, при этом индивидуальные значения признака представляют собой, как правило, относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин, как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики. Средняя характеризует, таким образом, средний коэффициент роста. Средняя геометрическая простая рассчитывается по формуле

Формула средней геометрической взвешенной имеет следующий вид:

Приведенные формулы идентичны, но одна применяется при текущих коэффициентах или темпах роста, а вторая - при абсолютных значениях уровней ряда.

Средняя квадратическая применяется при расчете с величинами квадратных функций, используется для измерения степени колеблемости индивидуальных значений признака вокруг средней арифметической в рядах распределения и вычисляется по формуле

Средняя квадратическая взвешенная рассчитывается по другой формуле:

Средняя кубическая применяется при расчете с величинами кубических функций и вычисляется по формуле

средняя кубическая взвешенная:

Все рассмотренные выше средние величины могут быть представлены в виде общей формулы:

где - средняя величина; - индивидуальное значение; n - число единиц изучаемой совокупности; k - показатель степени, определяющий вид средней.

При использовании одних и тех же исходных данных, чем больше k в общей формуле степенной средней, тем больше средняя величина. Из этого следует, что между величинами степенных средних существует закономерное соотношение:

Средние величины, описанные выше, дают обобщенное представление об изучаемой совокупности и с этой точки зрения их теоретическое, прикладное и познавательное значение бесспорно. Но бывает, что величина средней не совпадает ни с одним из реально существующих вариантов, поэтому кроме рассмотренных средних в статистическом анализе целесообразно использовать величины конкретных вариантов, занимающие в упорядоченном (ранжированном) ряду значений признака вполне определенное положение. Среди таких величин наиболее употребительными являются структурные, или описательные, средние - мода (Мо) и медиана (Ме).

Мода - величина признака, которая чаще всего встречается в данной совокупности. Применительно к вариационному ряду модой является наиболее часто встречающееся значение ранжированного ряда, т. е. вариант, обладающий наибольшей частотой. Мода может применяться при определении магазинов, которые чаще посещаются, наиболее распространенной цены на какой-либо товар. Она показывает размер признака, свойственный значительной части совокупности, и определяется по формуле

где х0 - нижняя граница интервала; h - величина интервала; fm - частота интервала; fm_ 1 - частота предшествующего интервала; fm+ 1 - частота следующего интервала.

Медианой называется вариант, расположенный в центре ранжированного ряда. Медиана делит ряд на две равные части таким образом, что по обе стороны от нее находится одинаковое количество единиц совокупности. При этом у одной половины единиц совокупности значение варьирующего признака меньше медианы, у другой - больше ее. Медиана используется при изучении элемента, значение которого больше или равно или одновременно меньше или равно половине элементов ряда распределения. Медиана дает общее представление о том, где сосредоточены значения признака, иными словами, где находится их центр.

Описательный характер медианы проявляется в том, что она характеризует количественную границу значений варьирующего признака, которыми обладает половина единиц совокупности. Задача нахождения медианы для дискретного вариационного ряда решается просто. Если всем единицам ряда придать порядковые номера, то порядковый номер медианного варианта определяется как (п +1) / 2 с нечетным числом членов п. Если же количество членов ряда является четным числом, то медианой будет являться среднее значение двух вариантов, имеющих порядковые номера n / 2 и n / 2 + 1.

При определении медианы в интервальных вариационных рядах сначала определяется интервал, в котором она находится (медианный интервал). Этот интервал характерен тем, что его накопленная сумма частот равна или превышает полусумму всех частот ряда. Расчет медианы интервального вариационного ряда производится по формуле

где X0 - нижняя граница интервала; h - величина интервала; fm - частота интервала; f - число членов ряда;

∫m-1 - сумма накопленных членов ряда, предшествующих данному.

Наряду с медианой для более полной характеристики структуры изучаемой совокупности применяют и другие значения вариантов, занимающих в ранжированном ряду вполне определенное положение. К ним относятся квартили и децили. Квартили делят ряд по сумме частот на 4 равные части, а децили - на 10 равных частей. Квартилей насчитывается три, а децилей - девять.

Медиана и мода в отличие от средней арифметической не погашают индивидуальных различий в значениях варьирующего признака и поэтому являются дополнительными и очень важными характеристиками статистической совокупности. На практике они часто используются вместо средней либо наряду с ней. Особенно целесообразно вычислять медиану и моду в тех случаях, когда изучаемая совокупность содержит некоторое количество единиц с очень большим или очень малым значением варьирующего признака. Эти, не очень характерные для совокупности значения вариантов, влияя на величину средней арифметической, не влияют на значения медианы и моды, что делает последние очень ценными для экономико-статистического анализа показателями.

Показатели вариации

Целью статистического исследования является выявление основных свойств и закономерностей изучаемой статистической совокупности. В процессе сводной обработки данных статистического наблюдения строят ряды распределения. Различают два типа рядов распределения - атрибутивные и вариационные, в зависимости от того, является ли признак, взятый за основу группировки, качественным или количественным.

Вариационными называют ряды распределения, построенные по количественному признаку. Значения количественных признаков у отдельных единиц совокупности не постоянны, более или менее различаются между собой. Такое различие в величине признака носит название вариации. Отдельные числовые значения признака, встречающиеся в изучаемой совокупности, называют вариантами значений. Наличие вариации у отдельных единиц совокупности обусловлено влиянием большого числа факторов на формирование уровня признака. Изучение характера и степени вариации признаков у отдельных единиц совокупности является важнейшим вопросом всякого статистического исследования. Для описания меры изменчивости признаков используют показатели вариации.

Другой важной задачей статистического исследования является определение роли отдельных факторов или их групп в вариации тех или иных признаков совокупности. Для решения такой задачи в статистике применяются специальные методы исследования вариации, основанные на использовании системы показателей, с помощью которых измеряется вариация. В практике исследователь сталкивается с достаточно большим количеством вариантов значений признака, что не дает представления о распределении единиц по величине признака в совокупности. Для этого проводят расположение всех вариантов значений признака в возрастающем или убывающем порядке. Этот процесс называют ранжированием ряда. Ранжированный ряд сразу дает общее представление о значениях, которые принимает признак в совокупности.

Недостаточность средней величины для исчерпывающей характеристики совокупности заставляет дополнять средние величины показателями, позволяющими оценить типичность этих средних путем измерения колеблемости (вариации) изучаемого признака. Использование этих показателей вариации дает возможность сделать статистический анализ более полным и содержательным и тем самым глубже понять сущность изучаемых общественных явлений.

Самыми простыми признаками вариации являются минимум и максимум - это наименьшее и наибольшее значение признака в совокупности. Число повторений отдельных вариантов значений признаков называют частотой повторения. Обозначим частоту повторения значения признака fi, сумма частот, равная объему изучаемой совокупности будет:

где k - число вариантов значений признака. Частоты удобно заменять частостями - wi. Частость - относительный показатель частоты - может быть выражен в долях единицы или процентах и позволяет сопоставлять вариационные ряды с различным числом наблюдений. Формально имеем:

Для измерения вариации признака применяются различные абсолютные и относительные показатели. К абсолютным показателям вариации относятся среднее линейное отклонение, размах вариации, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.

Размах вариации (R) представляет собой разность между максимальным и минимальным значениями признака в изучаемой совокупности: R = Xmax - Xmin. Этот показатель дает лишь самое общее представление о колеблемости изучаемого признака, так как показывает разницу только между предельными значениями вариантов. Он совершенно не связан с частотами в вариационном ряду, т. е. с характером распределения, а его зависимость может придавать ему неустойчивый, случайный характер только от крайних значений признака. Размах вариации не дает никакой информации об особенностях исследуемых совокупностей и не позволяет оценить степень типичности полученных средних величин. Область применения этого показателя ограничена достаточно однородными совокупностями, точнее, характеризует вариацию признака показатель, основанный на учете изменчивости всех значений признака.

Для характеристики вариации признака нужно обобщить отклонения всех значений от какой-либо типичной для изучаемой совокупности величины. Такие показатели

вариации, как среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение, основаны на рассмотрении отклонений значений признака отдельных единиц совокупности от средней арифметической.

Среднее линейное отклонение представляет собой среднюю арифметическую из абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их средней арифметической:

Абсолютное значение (модуль) отклонения варианта от средней арифметической; f- частота.

Первая формула применяется, если каждый из вариантов встречается в совокупности только один раз, а вторая - в рядах с неравными частотами.

Существует и другой способ усреднения отклонений вариантов от средней арифметической. Этот очень распространенный в статистике способ сводится к расчету квадратов отклонений вариантов от средней величины с их последующим усреднением. При этом мы получаем новый показатель вариации - дисперсию.

Дисперсия (σ 2) - средняя из квадратов отклонений вариантов значений признака от их средней величины:

Вторая формула применяется при наличии у вариантов своих весов (или частот вариационного ряда).

В экономико-статистическом анализе вариацию признака принято оценивать чаще всего с помощью среднего квадратического отклонения. Среднее квадратическое отклонение (σ) представляет собой корень квадратный из дисперсии:

Среднее линейное и среднее квадратическое отклонения показывают, на сколько в среднем колеблется величина признака у единиц исследуемой совокупности, и выражаются в тех же единицах измерения, что и варианты.

В статистической практике часто возникает необходимость сравнения вариации различных признаков. Например, большой интерес представляет сравнение вариаций возраста персонала и его квалификации, стажа работы и размера заработной платы и т. д. Для подобных сопоставлений показатели абсолютной колеблемости признаков - среднее линейное и среднее квадртическое отклонение - не пригодны. Нельзя, в самом деле, сравнивать колеблемость стажа работы, выражаемую в годах, с колеблемостью заработной платы, выражаемой в рублях и копейках.

При сравнении изменчивости различных признаков в совокупности удобно применять относительные показатели вариации. Эти показатели вычисляются как отношение абсолютных показателей к средней арифметической (или медиане). Используя в качестве абсолютного показателя вариации размах вариации, среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение, получают относительные показатели колеблемости:

Наиболее часто применяемый показатель относительной колеблемости, характеризующий однородность совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33 % для распределений, близких к нормальному.

Средняя величина является наиболее ценной с аналитической точ­ки зрения и универсальной формой выражения статистических пока­зателей. Наиболее распространенная средняя - средняя арифметичес­кая - обладает рядом математических свойств, которые могут быть использованы при ее расчете. В то же время при исчислении конкрет­ной средней всегда целесообразно опираться на ее логическую фор­мулу, представляющую собой отношение объема признака к объему совокупности. Для каждой средней существует только одно истинное исходное соотношение, для реализации которого, в зависимости от имеющихся данных, могут потребоваться различные формы средних. Однако во всех случаях, когда характер осредняемой величины под­разумевает наличие весов, нельзя вместо взвешенных формул сред­них использовать их невзвешенные формулы.

Средняя величина - это наиболее характерное для совокупности значение признака и распределенный равными долями между единицами совокупности раз­мер признака совокупности.

Признак, для которого рассчитывается средняя величи­на, носит название осредняемый .

Средняя величина - показатель, рассчитываемый сопоставлением абсолютных или относительных величин. Среднюю величину обозначают

Средняя величина отражает влияние всех факторов, влия­ющих на исследуемое явление, и является для них равнодей­ствующей. Другими словами, погашая индивидуальные откло­нения и устраняя влияние случаев, средняя величина, отражая общую меру результатов этого действия, выступает общей закономерностью изучаемого явления.

Условия применения средних величин:

Ø однородность исследуемой совокупности. Если некоторые подверженные влиянию случайного фактора элементы совокупности имеют значитель­но отличающиеся от остальных величины изуча­емого признака, то данные элементы повлияют на размер средней для данной совокупности. В этом случае средняя не будет выражать наиболее ти­пичную для совокупности величину признака. Если исследуемое явление неоднородно, требуется его разбивка на содержащие однородные элементы группы. В данном случае рассчитывают средние по группам - груп­повые средние, выражающие наиболее характерную вели­чину явления в каждой группе, а затем рассчитывается об­щая средняя величина для всех элементов, характеризующая явление в целом. Она рассчитывается как средняя из группо­вых средних, взвешенных по числу включенных в каждую группу элементов совокупности;

Ø достаточное количество единиц в совокупности;

Ø максимальное и минимальное значения признака в изучаемой совокупности.

Средняя величина (показатель) – это обобщенная количественная характеристика признака в систематической совокупности в конкретных условиях места и времени .

В статистике применяется следующие формы (виды) средних величин, называемых степенными и структурными:

Ø средняя арифметическая (простая и взвешенная);